जब राजुला श्रीवास्तव को पहली बार एक प्रतिष्ठित पुरस्कार के बारे में सूचित किया गया था, तो उन्हें इसे खारिज करने की जल्दी थी। वह सब मिला, जो गणितज्ञ टेरेंस ताओ के व्यक्तिगत ईमेल पते से एक गुप्त ईमेल था, यह पूछ रहा था कि क्या वह एक चैट के लिए स्वतंत्र है। ताओ, कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, लॉस एंजिल्स में एक प्रोफेसर, व्यापक रूप से हमारे समय के सबसे प्रतिभाशाली गणितज्ञों में से एक माना जाता है। श्रीवास्तव एक कारण नहीं सोच सकते थे कि वह उससे बात क्यों करना चाहेगा।

“मैंने स्पष्ट रूप से सोचा था कि यह एक घोटाला था,” उसने कहा।

लेकिन फिर उसे दस मिनट बाद एक दूसरा ईमेल मिला, जिसमें ज़ूम करने के लिए कहा गया। यह पता लगाने के बाद कि ईमेल नकली नहीं था, वह सावधानी से जवाब देने के लिए आगे बढ़ी। अपनी चैट के दौरान, ताओ ने इस खबर को तोड़ दिया कि उसने मैरीम मिर्जखनी न्यू फ्रंटियर्स पुरस्कार, गणित में सफलता पुरस्कार की एक पहल, हार्मोनिक विश्लेषण और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में अपने काम के लिए जीत ली थी। वह इस पर विश्वास नहीं कर सकती थी।

“मैंने उससे कहा कि मुझे लगा कि यह एक घोटाला है, और उसने पाया कि बहुत मजाकिया है, [saying] ‘शायद मैं एक प्रमेय को आप या कुछ और से बाहर घोटाल करना चाहता हूं, “उसने हंसी के साथ कहा।” यह असली था, रास्ता [the call] गया।”

पहेली के लिए एक शौक

श्रीवास्तव, बॉन विश्वविद्यालय में एक हिरज़ेब्रुच अनुसंधान प्रशिक्षक और जर्मनी में मैक्स प्लैंक इंस्टीट्यूट फॉर मैथमेटिक्स, एक विज्ञान-प्रेमी परिवार में बड़े हुए।

स्कूल में, गणित वह विषय था जो उसने सभी विज्ञानों में सबसे अधिक आनंद लिया था: क्योंकि इसमें कम से कम मात्रा में संस्मरण शामिल था। “एक बार जब आप चीजों के पीछे के तर्क को समझते हैं, तो आपको बहुत सारी चीजों को याद नहीं करने की ज़रूरत नहीं है … बालवाड़ी में गुणन तालिकाओं से परे,” उसने कहा।

उसे यह भी एहसास हुआ कि उसे लैब का काम करना पसंद नहीं था, लेकिन उसे पहेलियाँ हल करने में मज़ा आया। 15 साल की उम्र में उसने फैसला किया कि वह एक गणितज्ञ बनना चाहती है और नेशनल इंस्टीट्यूट ऑफ साइंस एजुकेशन एंड रिसर्च (NISER), भुवनेश्वर में एक एकीकृत मास्टर डिग्री हासिल की, जहां उसने मैथ्स में पढ़ाई की।

उसने तब हार्मोनिक विश्लेषण, कार्यों के अध्ययन और उनकी आवृत्तियों के संदर्भ में उन्हें कैसे दर्शाया जा सकता है – एक ऐसा विषय जिसे वह पसंद करना शुरू कर दिया था। अपनी पीएचडी के लिए, उसने अपने बड़े हार्मोनिक विश्लेषण समूह के कारण मुख्य रूप से विस्कॉन्सिन-मैडिसन विश्वविद्यालय में जाने के लिए चुना।

जैसे संगीत को सामंजस्य में विभाजित किया जा सकता है, वैसे ही संकेतों को उन आवृत्तियों में तोड़ा जा सकता है जो उन्हें बनाते हैं। “लेकिन आपको इसे एक समझदार तरीके से करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, ताकि आपके पास इस ब्रेकडाउन में जो जानकारी है, वह ऐसा होना चाहिए कि आपको इन टुकड़ों से एक बार फिर से अपने जटिल संकेत को फिर से संगठित करने में सक्षम होना चाहिए,” श्रीवास्तव ने समझाया।

यह हार्मोनिक विश्लेषण का मूल विचार है, जहां कोई अपनी आवृत्तियों या “हार्मोनिक्स” के संदर्भ में कार्यों को तोड़ता है, जिसे फूरियर ट्रांसफॉर्मेशन नामक एक विधि का उपयोग किया जाता है। एक लाइन पर झूठ बोलने के लिए इन आवृत्तियों की कल्पना कर सकते हैं, लेकिन आप इन सवालों को उच्च आयामों में भी पूछ सकते हैं, श्रीवास्तव ने कहा। “फिर यह ज्यामिति के बारे में भी है, पैटर्न और उन आकृतियों के बारे में जिनमें इन तरंगों की व्यवस्था की जाती है।”

एक त्रि-आयामी लहर की कल्पना करने के लिए, हवा में अणुओं के माध्यम से सभी दिशाओं में यात्रा करने वाली एक ध्वनि लहर को चित्रित करें, या भूकंप से तरंगों के रूप में यह जमीन के माध्यम से पुन: उत्पन्न करता है। प्रत्येक मामले में, एक बिंदु होता है जिस पर कंपन उत्पन्न होता है, और निकलने वाली तरंगें फिर एक गोले का आकार बनाते हैं। कंपन रेडियल रूप से बाहर की ओर यात्रा करते हैं, विस्तार लहर के लिए लंबवत। उसका काम ज्यादातर तीन या उच्च आयामों में तरंगों पर केंद्रित था।

एक लाइन पर संख्याएँ

अपनी पीएचडी के बाद, श्रीवास्तव ने जर्मनी में अपने पोस्टडॉक्टोरल रिसर्च को किया, बॉन विश्वविद्यालय में गणित विभाग और बॉन में मैक्स प्लैंक इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमेटिक्स के बीच एक संयुक्त स्थिति को स्वीकार किया। अपने समय में, 2022 से 2024 तक, वह हार्मोनिक विश्लेषण और संख्या सिद्धांत के इंटरफ़ेस में समस्याओं में बदलना शुरू कर दिया।

उनके पति, जो एक गणितज्ञ और एक नंबर सिद्धांतकार भी हैं, ने पहले उन्हें समस्याओं की गिनती के लिए पेश किया। संख्या सैद्धांतिक समस्याओं के संभावित अनुप्रयोगों से अधिक, हालांकि, श्रीवास्तव को सरासर जिज्ञासा से प्रेरित किया गया था। हार्मोनिक विश्लेषण में अपनी विशेषज्ञता के साथ, वह जानती थी कि उसके पास उसके निपटान में उपकरणों का एक बैग है। क्या वह अब चीजों को गिनने के लिए उनका इस्तेमाल कर सकती है?

उसने एक सरल उदाहरण पेश किया। नंबर लाइन पर पूर्णांक को पोजिशन करते समय, हम सीखते हैं कि तर्कसंगत संख्याओं का लाइन पर एक सटीक पता है। यहां तक कि अगर यह एक अंश है, जैसे कि 5/7 कहते हैं, तो संख्या रेखा को छोटे और छोटे भागों में कटा जा सकता है जब तक कि हमारे पास इसके लिए एक सटीक स्थान न हो। तर्कहीन संख्याओं में एक सटीक पता नहीं है, लेकिन कोई भी एक अच्छी तरह से शिक्षित अनुमान लगा सकता है।

“हम कह सकते हैं कि यह 1/1,000,000 और 2/1,000,000 के बीच है, [for example]जो एक बहुत छोटा हिस्सा है और अपनी बात को अनुमानित करने के लिए उन अंशों का उपयोग करता है, “उसने समझाया।” आप इस त्रुटि के लिए कह रहे हैं, यह इन दो अंशों के बीच है। “

लेकिन उसने उच्च आयामों में इसी तरह के सवाल पर काम किया। एक पंक्ति के बजाय, एक गोले की तरह तीन आयामी आकार की कल्पना करें। अब अगर आप जिस बिंदु को मैप करना चाहते हैं, वह इस आकार के कई गुना पर है, तो आप इसकी अनुमान के बारे में क्या कह सकते हैं? “यह है कि ज्यामिति कैसे आती है,” उसने कहा।

उच्च आयामों में, अंश एक-आयामी संख्या रेखा पर समान रूप से फैलाए जाने के बजाय एक ग्रिड या जाली पर झूठ बोलते हैं। “तो मेरे पास एक जाली है, और मेरे पास जाली के अंदर एक आकार है। और फिर मैं पूछ रहा हूं: इस जाली के बिंदु कितने करीब हो सकते हैं?

यह है कि कैसे दो विचार – हार्मोनिक विश्लेषण और 3 डी स्पेस में गिनती बिंदुओं – अभिसरण। “यदि आप जानते हैं कि आपकी लहरें एक अच्छी स्थिति में रहती हैं, तो आप उन तरंगों के बारे में कुछ जानते हैं या [their] आवृत्तियों, “उसने कहा। जैसा कि लहर आवृत्तियों और जाली दोनों आवधिक हैं, उसने एक जाली के भीतर एक आकार पर अंक गिनने के लिए लहरों की आवधिकता का उपयोग करने पर काम किया। इन समस्याओं पर काम करते हुए अंततः उसे मरियम मिर्ज़खनी न्यू फ्रंटियर्स पुरस्कार जीतने के लिए चला गया।

भारत में अधिक सम्मेलन

यहां तक कि NISER में अपने विभाग में गणित करने वाले 25 छात्रों में से केवल दो महिलाओं में से एक के रूप में, उन्होंने भारत में अपने एकीकृत मास्टर कार्यक्रम के दौरान अपनी प्रगति के लिए कोई विशिष्ट बाधाओं को महसूस नहीं किया। वह आश्वस्त थी, अपनी परीक्षा में अच्छा कर रही थी, और उसे दूसरों के लिए लगातार खुद को साबित करने की आवश्यकता नहीं थी। लेकिन जब वह विदेश चली गई तो वह बदल गई: अब वह न केवल एक महिला थी, बल्कि वह भी गैर-श्वेत थी। उसने अंततः एक समुदाय का गठन किया और पुरुषों और महिलाओं दोनों से समर्थन प्राप्त किया, लेकिन जब वह भारत से बाहर चली गई तो वह अभी भी शुरुआत में कुछ अलगाव महसूस करती है।

“आपको लगता है कि आपको खुद को और अधिक साबित करने की आवश्यकता है। आपके पास एक समुदाय के कम होने के लिए कम है क्योंकि आप में से बस कम है,” श्रीवास्तव ने कहा। “कभी -कभी यदि आप कमरे में एकमात्र भूरी महिला हैं, तो आप किसी भी तरह से महसूस करते हैं कि आप अधिक जांच कर रहे हैं। जैसे, यदि आप एक सवाल पूछ रहे हैं, तो यह एक अच्छा सवाल है, कुछ बेवकूफी नहीं है।” वह सोचती है कि चीजें अब बदल रही हैं, हालांकि, अधिक से अधिक रंग की महिलाएं गणित कर रही हैं।

श्रीवास्तव अपने करियर में पूर्ण चक्र में आ रहे हैं। वर्तमान में एडिनबर्ग विश्वविद्यालय में एक विजिटिंग रिसर्च फेलो, वह जल्द ही विस्कॉन्सिन-मैडिसन विश्वविद्यालय में वापस चलेगी और हार्मोनिक विश्लेषण और संख्या सिद्धांत के चौराहे पर काम करना जारी रखेगी। उसने लंबे समय तक विदेश जाने का फैसला किया क्योंकि उसका पति जर्मन है और उन दोनों के लिए भारत की तुलना में अमेरिका जाने के लिए तार्किक रूप से आसान था।

एक और कारण लोगों और संसाधनों के लिए अधिक जोखिम था और नए अनुसंधान विकास पर अद्यतन किया जा रहा था, क्योंकि भारत में कई बड़े सम्मेलन नहीं होते हैं। “मुझे लगता है कि उन्हें और अधिक करना चाहिए [conferences] विकासशील देशों में, न केवल भारत, बल्कि वैश्विक दक्षिण के अन्य देशों में भी, ”उसने कहा।

श्रीवास्तव को एक व्यापक समुदाय का हिस्सा होने का आनंद मिलता है: मित्र और सहयोगी जो सभी गणित की सामान्य भाषा बोलते हैं और जिन्हें वह भारत से बाहर जाने के बाद समस्याओं के साथ मिलने और सहयोग करने में सक्षम था। लेकिन वह भारत में अपनी प्रारंभिक शिक्षा के लिए भी आभारी है, और कितने भारतीय विश्वविद्यालयों, जिनमें शामिल हैं, अपने छात्रों में छात्रवृत्ति और कम शुल्क के साथ बहुत निवेश करते हैं।

एक कविता लिखना पसंद है

लेकिन गणित करना भी कई बार बहुत निराशाजनक हो सकता है, उसने कहा। जैसे कि जब कोई समय का अधिकांश समय एक समस्या के जवाबों पर शोध करता है, तो बस बैठने और उसे हल करने में सक्षम होने के बजाय एक समस्या का जवाब देता है। “कभी -कभी आपके पास व्यापक रूपरेखा होती है, कि यह कैसे काम करना चाहिए। लेकिन वास्तव में सभी चरणों को लागू करने में समय लग सकता है,” उसने कहा। “कभी -कभी विचार एक सप्ताह में आ सकते हैं, लेकिन सिर्फ चीजों को लिखने के लिए महीनों लग सकते हैं।”

छोटी जीत से पुरस्कार, जैसे कि एक छोटे प्रमेय को एक बड़े सबूत के हिस्से के रूप में नीचे लाना, उसे जारी रखना। वह भी तत्काल समय सीमा नहीं होने की स्वतंत्रता को महत्व देती है और अपने शोध प्रश्नों पर काम करने के लिए महंगे संसाधनों पर भरोसा करने की आवश्यकता नहीं है। उत्तरार्द्ध अक्सर जीव विज्ञान जैसे अन्य क्षेत्रों में होता है।

“गणित में, आपको बहुत ज्यादा पेन और पेपर की जरूरत है। आप कहीं भी हो सकते हैं, और आप बस के बारे में सोचना शुरू कर सकते हैं [the problem]”उसने कहा।” शायद आपको एक बोर्ड और चाक की आवश्यकता है, और यह बात है। “

दिन-प्रतिदिन के आधार पर, यदि वह वास्तव में एक समस्या पर केंद्रित है, तो गणित लगभग श्रीवास्तव के लिए ध्यान की तरह है। उन्होंने बताया कि कैसे कुछ लोग इसे कला और विज्ञान के बीच एक क्रॉस की तरह सोचते हैं। “कुछ ऐसा है जो सिर्फ आपके मस्तिष्क में है और फिर किसी तरह आप साबित करते हैं [it]और फिर यह सच है। एक बार यह सच होने के बाद, यह हमेशा रहेगा, ”उसने कहा।

“कुछ मायनों में, यह एक कहानी या एक कविता लिखने जैसा है। मुझे यह तथ्य पसंद है कि आप कुछ ऐसा बना सकते हैं जो उस तरह से रहता है।”

रोहिणी सुब्रह्मण्यम बेंगलुरु में एक स्वतंत्र पत्रकार हैं।