इस महीने की शुरुआत में, भारतीय विज्ञान संस्थान, बेंगलुरु के प्रोफेसर अनिंदा सिन्हा और उनके पूर्व डॉक्टरेट छात्र फैज़ान भट ने गूढ़ गणित को जोड़ा। श्रीनिवास रामानुजन अशांत तरल पदार्थों की भौतिकी और ब्रह्मांड के विस्तार के अंतर्निहित सिद्धांतों के साथ।
उन्होंने जो पुल बनाया था वह π (pi) था – मामूली पुल नहीं बल्कि पारलौकिक पुल, जिसे स्कूल के छात्र किसी भी वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में जानते हैं।
उनका पेपर छपा भौतिक समीक्षा पत्र.
पाई के लिए नुस्खा
जबकि π वस्तुओं के आयतन और क्षेत्रफल की गणना करने के लिए केंद्रीय है, यह स्वयं अनंत है और इस प्रकार अपरिमेय है। इसका मान 3.14159265 है… दशमलव बिंदु के बाद अंकों के अनंत हिमस्खलन का कोई ज्ञात पैटर्न नहीं है। आज भी, पेशेवर गणितज्ञ ऐसे सूत्र विकसित कर रहे हैं जो तेजी से और विश्वसनीय रूप से इस अनुक्रम की भविष्यवाणी करते हैं।
मोटे तौर पर उपयोग के लिए अनुपात 22/7, जिसे पहली बार 1500 साल पहले ग्रीक गणितज्ञ आर्किमिडीज़ ने खोजा था, संख्याओं की एक श्रृंखला देता है जिसे पाई का एक मोटा अनुमान माना जाता है। पिछले कुछ वर्षों में कई सुधार हुए हैं, पाई की गणना करने के लिए गणित की विभिन्न शाखाओं का उपयोग किया जाता है, जिसमें आमतौर पर कई शब्द और श्रमसाध्य प्रतिस्थापन शामिल होते हैं।
एक सदी से भी अधिक समय पहले, चेन्नई में एक अकाउंटेंट श्रीनिवास रामानुजन, जो अभी तक गणितीय महानों के समूह में शामिल नहीं हुए थे, ने 1/π के लिए आश्चर्यजनक रूप से तेजी से परिवर्तित होने वाले सूत्रों का एक सेट खोजा था। उन्होंने 1/π के लिए कम से कम 17 विशिष्ट अनंत श्रृंखलाओं की खोज की। उनमें से प्रत्येक एक विशेष “नुस्खा” की तरह काम करता है: पहला शब्द जोड़ें, आपको एक मोटा मूल्य मिलता है; एक सेकंड जोड़ें, यह नाटकीय रूप से अधिक सटीक हो जाता है; थोड़ा और जारी रखें, और सन्निकटन बहुत तेज़ी से π में परिवर्तित हो जाता है।
इनमें से कुछ सूत्र इतने कुशल हैं कि वे चुडनोव्स्की एल्गोरिदम को रेखांकित करते हैं, जिसका उपयोग वैज्ञानिकों ने आधुनिक सुपर कंप्यूटर पर 200 ट्रिलियन से अधिक अंकों की गणना करने के लिए किया है।
रबर बैंड की तरह
लेकिन डॉ. सिन्हा को केवल पाई जोड़ने में कोई दिलचस्पी नहीं थी। “हमें रामानुजन की सोच के पीछे के गणित में रुचि थी,” उन्होंने फोन पर कहा।
स्ट्रिंग सिद्धांत में यह सिलसिला अप्रत्याशित रूप से शुरू हुआ – सैद्धांतिक भौतिकी का एक भव्य सिद्धांत जो यह समझाने की कोशिश करता है कि पदार्थ, इलेक्ट्रॉन, न्यूट्रिनो, क्वार्क, ग्रेविटॉन आदि के सभी मूलभूत कण, ऊर्जा के अदृश्य छोटे कुंडल जिन्हें ‘स्ट्रिंग्स’ कहा जाता है, के कंपन से कैसे उभरे होंगे।
पिछले साल, डॉ. सिन्हा और एक सहयोगी कुछ स्ट्रिंग-सैद्धांतिक गणनाओं का अध्ययन कर रहे थे और उन्हें एहसास हुआ कि साहित्य में कुछ मौजूदा उत्तर अधूरे या गलत तरीके से उद्धृत किए गए थे।
“उन स्ट्रिंग उत्तरों के नए अभ्यावेदन को खोजने की प्रक्रिया में, हमें π के लिए एक नया सूत्र मिला,” उन्होंने याद किया। “वास्तव में, अनंत संख्या में नए सूत्र।”
डॉ. सिन्हा ने समझाया, एक डोरी को रबर बैंड की तरह समझा जा सकता है: आप इसे कई तरह से खींच सकते हैं और इसकी लोच कई मान ले सकती है।
“यदि π किसी तरह से स्ट्रिंग उत्तर में छिपा हुआ है, तो इसे देखने के विभिन्न तरीकों की अनंत संख्या होनी चाहिए। हमने यही पाया।”
उन्होंने आगे कहा, “इसी ने मुझे वापस जाने और रामानुजन के फॉर्मूलों को अधिक ध्यान से देखने के लिए प्रेरित किया।” “एक बार जब मैंने आधुनिक प्रस्तुति को देखा, तो कुछ उछलकर सामने आया। मेरे प्रशिक्षण के कारण, मैंने तुरंत उन संरचनाओं को पहचान लिया जो मैंने अनुरूप क्षेत्र सिद्धांतों में पहले देखी थीं।”
एक महत्वपूर्ण मोड़ पर
अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत (सीएफटी) महत्वपूर्ण घटनाओं की गणितीय भाषा है, वे विशेष बिंदु जहां सिस्टम परिवर्तन के कगार पर हैं।
उदाहरण के लिए, जब पानी 100 डिग्री सेल्सियस और कमरे के दबाव पर उबलता है, तो आप तरल और वाष्प को स्पष्ट रूप से अलग कर सकते हैं। लेकिन बहुत अधिक तापमान और 374 डिग्री सेल्सियस और 221 एटीएम के दबाव पर, यह एक महत्वपूर्ण बिंदु पर पहुंच जाता है जहां यह अंतर गायब हो जाता है: तरल पदार्थ ‘सुपरफ्लुइड’ बन जाता है और न तो स्पष्ट रूप से तरल होता है और न ही स्पष्ट रूप से गैस, चाहे आप कितनी भी बारीकी से ज़ूम इन करें।
डॉ. सिन्हा ने कहा, “महत्वपूर्ण बिंदु पर, आप वास्तव में यह नहीं कह सकते कि कौन तरल है और कौन वाष्प है।” “यही वह बिंदु है जहां सीएफटी प्रवेश करते हैं: उनका उपयोग यह समझाने के लिए किया जाता है कि इस प्रकार की महत्वपूर्ण घटनाओं में क्या होता है।”
रामानुजन समीकरण, विशेष रूप से उपयोग किए जाने वाले शब्द, कुछ प्रकार के सीएफटी के अनुरूप प्रतीत होते हैं। गणितीय इंजन रामानुजन ने पाई को खोजने के लिए सहजता से तैनात किया – जिसमें मॉड्यूलर समीकरण, अण्डाकार इंटीग्रल और विशेष फ़ंक्शन शामिल हैं – सीएफटी (विशेष रूप से लॉगरिदमिक सीएफटी) में सहसंबंध कार्यों की संरचना से बिल्कुल मेल खाता है।
फ़िलहाल, उनका कार्य संख्या सिद्धांत या ब्रह्माण्ड विज्ञान में किसी भी बड़े अनुमान को स्थापित नहीं कर पाया है। इसके बजाय यह विचार के दो दूरवर्ती क्षेत्रों के बीच एक दिलचस्प पुल के रूप में खड़ा है: रामानुजन के सहज मॉड्यूलर समीकरण और आधुनिक सीएफटी।
पूछताछ की नई लाइन
“[In] सुंदर गणित के किसी भी टुकड़े में, आप लगभग हमेशा पाते हैं कि एक भौतिक प्रणाली है जो वास्तव में गणित को प्रतिबिंबित करती है,” श्री भट्ट ने एक प्रेस बयान में कहा। “रामानुजन की प्रेरणा बहुत गणितीय रही होगी, लेकिन अपने ज्ञान के बिना, वह ब्लैक होल, अशांति, अंतःस्राव, सभी प्रकार की चीजों का भी अध्ययन कर रहे थे।”
इसने कहा, इतिहास अलगाव में विकसित गणितीय विचारों के उदाहरणों से भरा पड़ा है, कभी-कभी कल्पना की शुद्ध उड़ानों के रूप में भी, अंततः दशकों बाद वास्तविक दुनिया की भौतिकी के साथ प्रतिध्वनित होता है।
“रिमानियन ज्यामिति (या घुमावदार स्थानों की ज्यामिति) को 19वीं शताब्दी में शुद्ध गणित के रूप में विकसित किया जा रहा था। बहुत बाद में, आइंस्टीन के सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत से पता चला कि स्पेसटाइम की ज्यामिति स्वयं रीमैनियन है (अंतरिक्ष-समय पर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के कारण)। आज, हम इसे जीपीएस के साथ भी उपयोग करते हैं,” डॉ. सिन्हा ने कहा।
नेपोलियन बोनापार्ट के गणितीय सलाहकार जोसेफ फूरियर ने ऊष्मा प्रवाह का विश्लेषण करने के लिए गणितीय उपकरण के रूप में फूरियर रूपांतरण विकसित किया। आज यह डिजिटल छवि और संगीत संपीड़न को रेखांकित करता है।
अभी के लिए, रामानुजन-सीएफटी कनेक्शन ने डॉ. सिन्हा के समूह में पहले से ही जांच की एक नई दिशा पैदा कर दी है: उन्होंने कहा, जिस गणितीय संरचना की उन्होंने पहचान की वह फिर से एक विस्तारित ब्रह्मांड के मॉडल में दिखाई देती है।
गणितीय पक्ष पर, कार्य संकेत देता है कि अन्य पारलौकिक संख्याएँ – जिनमें से π केवल एक उदाहरण है – भौतिकी में निहित समान कुशल अभ्यावेदन को स्वीकार कर सकती हैं।
jacob.koshy@thehindu.co.in
