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बिंदु हमें अनंत तक ले जाते हैं। या तो मैं कह सकता हूं और इस लेख को तुरंत यहीं समाप्त कर सकता हूं। उच्चतम संख्या की कल्पना करने का प्रयास करें (जो आम आदमी के शब्दों में ‘अनंत’ है)। क्या आप कर सकते हैं? आइए उस विचार को बनाए रखें क्योंकि यह अनंत की हमारी गहरी समझ के लिए प्रस्थान का एक महत्वपूर्ण बिंदु बन जाएगा।
अनंत की मस्तिष्क-पिघलने वाली अस्पष्टता काफी कष्टप्रद हो सकती है, खासकर कठोर गणित की दुनिया में। फिर भी, गणितीय ‘अनंत’ की कहानी वह है जहां अनंत को अपने जूते और मोज़े मिले हैं।
दो सबसे अच्छे दोस्त
शुरुआत में, अनंत की अवधारणा ने खुद को प्राचीन दार्शनिकों और गणितज्ञों से परिचित कराया जो ब्रह्मांड से निपटते थे। “इन्फिनिटी” दार्शनिकों और गणितज्ञों के लिए समान रूप से खेल का मैदान था। जब ‘अनंत’ के संबंध में भ्रांतियों और रहस्यों को सुलझाने की बात आती थी तो वे काफी संकोची थे।
प्राचीन ग्रीस में, सुकरात से बहुत पहले, लोग जिन महत्वपूर्ण उत्तरों की तलाश कर रहे थे उनमें से एक आर्के का था – प्रिय रहस्यमय उत्पत्ति, शुरुआत। यह अस्तित्व और जीवन के अस्तित्व विज्ञान में निहित एक प्रश्न था। अनन्तता सबसे पहले यहीं झाँकती है।
प्राचीन ग्रीस में, सुकरात से बहुत पहले, लोग जिन महत्वपूर्ण उत्तरों की तलाश कर रहे थे उनमें से एक आर्च का उत्तर था। | फोटो क्रेडिट: गेटी इमेजेज/आईस्टॉकफोटो
आर्क की खोज में, एनाक्सागोरस नामक एक प्रमुख दार्शनिक ने अपने दो सेंट सामने रखे थे। उनका मानना था कि ब्रह्मांड अनंत तत्वों से बना है; हर चीज़ में इन तत्वों का मिश्रण। मेरा मतलब है, वह स्पष्ट रूप से तब किसी चीज़ पर था। आपको थोड़ा संदर्भ देने के लिए, यह वह समय था जब उत्पत्ति के एकमात्र लोकप्रिय सिद्धांत थे
1) हर चीज़ पानी से बनी थी (थेल्स ऑफ़ मिलिटस)
2) हर चीज़ चार चीजों से बनी है – वायु, जल, अग्नि, पृथ्वी (एम्पेडोकल्स)
3) हर चीज़ हवा से बनी है (एनेक्सिमनीज़)
4) हर चीज़ एक “असीम” स्रोत से आई है। (एनेक्सिमेंडर के इस सिद्धांत ने अनंत के विचार को हमारे दिमाग में एक असीम और असीमित चीज़ के रूप में डाल दिया)
“छोटे में कोई छोटा नहीं है और बड़े में कोई बड़ा नहीं है; लेकिन हमेशा कुछ न कुछ छोटा होता है और कुछ बड़ा भी होता है।”एनाक्सागोरस
जबकि एनाक्सागोरस को अभी भी कई चीजें गलत लगीं, उसने अनंत की समझ के लिए एक महत्वपूर्ण गणितीय बढ़त हासिल कर ली थी – कि चीजों को अनंत रूप से विभाजित किया जा सकता है और इसकी कोई सीमा नहीं है (कोई सबसे छोटी और कोई सबसे बड़ी नहीं)।
यह आगे ही आगे और आगे ही आगे चलता ही जाता है,
फिर यह चलता ही रहता है और चलता ही रहता है
हमने सबसे पहले कहा था कि आम आदमी के शब्दों में अनंत कल्पनीय उच्चतम संख्या है। लेकिन अनंत पर एक संख्या डालने का कार्य यह बताना है कि अंत है।
अब ज़ेनो नाम के एक अन्य यूनानी दार्शनिक के पास अकिलिस और कछुए की कहानी के नाम पर देने के लिए दो सेंट थे।
वास्तव में कहानी सरल है। वहाँ एक कछुआ था और वहाँ अकिलिस था। वे दोनों एक दौड़ में थे। चूँकि यह ज्ञात है कि अकिलिस दौड़ने में माहिर था, इसलिए कछुए को शुरुआत दी गई।
कछुआ कुछ दूर तक दौड़ने के बाद, अकिलिस शुरू कर सका। अब यहाँ कहानी में ट्विस्ट है। हर बार जब अकिलिस कछुआ जहाँ था, उसे पकड़ लेता, कछुआ पहले ही कुछ और दूरी आगे बढ़ चुका होता। हर बार अकिलिस लक्ष्य की ओर बढ़ने पर दूरी आधी हो जाती है। देखिये, ऐसा है. मैं अपने गंतव्य C तक पहुँचने के लिए B से A की आधी दूरी तय करता हूँ। मेरे और मंजिल के बीच की यह दूरी अनंत रूप से आधी हो सकती है। इस तरह मैं कभी भी अपनी मंजिल सी तक नहीं पहुंच सकता।
यहाँ हमारे भाई ज़ेनो ने इस उदाहरण से यह निष्कर्ष निकाला कि गति एक भ्रम है। गणितज्ञों और दार्शनिकों की बाद की पीढ़ियों ने इस अद्भुत अनंतता का अध्ययन करने का बीड़ा उठाया।
अनंत शृंखला
पूर्णांक (क्रमबद्ध सूचियों में) अनंत तरीके से विस्तारित हो सकते हैं। जिन प्राकृतिक संख्याओं से हमने अनंत की खोज शुरू की, वह ऐसी ही एक सूची है। ज़ेनो के प्रश्न ने आधुनिक गणितज्ञ के मस्तिष्क को अनंत श्रृंखला से संबंधित अंकगणित की ओर मोड़ दिया था। मैं ऐसी श्रृंखला का योग कैसे ज्ञात करूं?
ज़ेनो के विरोधाभास को हल करने में लगभग बीस शताब्दियाँ लग गईं। कैलकुलस को एक हथियार के रूप में लेकर, सत्रहवीं और अठारहवीं शताब्दी के गणितज्ञों ने अनंत श्रृंखला की प्रकृति का उत्साहपूर्वक अध्ययन करने का कार्य किया।
अनंत दर्पण प्रभाव
एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला (अनंत ज्यामितीय अनुक्रम का योग) का एक उदाहरण है।
इन्फिनिटी-एस?
जब बज़ लाइटइयर में खिलौना कहानी “अनंत और उससे भी आगे तक!” कहा, वह मजाक नहीं कर रहा था।
जब तक जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर अनंत अनुसंधान में शामिल हुए, तब तक आइजैक न्यूटन, गॉटफ्रीड लीबनिज और जॉन वालिस जैसे गुणी लोगों द्वारा अच्छी मात्रा में नींव स्थापित की जा चुकी थी। अनंत संख्यात्मक, असंख्य अर्थों में उचित हो गया था। सेट सिद्धांत को सामने लाते हुए, कैंटर ने विभिन्न प्रकार की अनंतताओं के अस्तित्व का प्रमाण देकर अनंत अनुसंधान में क्रांति ला दी।
मान लीजिए कि दो सेट हैं। यदि हम जानते हैं कि एक सेट में प्रत्येक तत्व के लिए दूसरे सेट में एक संबंधित अद्वितीय तत्व है, तो यह न जानने के बावजूद कि कितने तत्व हैं, हम कह सकते हैं कि दोनों सेटों का आकार (कार्डिनैलिटी) है। कैंटर ने अनंत तत्वों वाले सेट लिए। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं, विषम संख्याओं, सम संख्याओं के सेट सभी अनंत हैं। फिर से दो ले लो. यदि हम समान स्थिति मानते हैं, तो अनंत सेट भी एक ही आकार के होते हैं, भले ही एक सेट में आधी या उससे कम संख्याएँ हों (यदि हम उन्हें एक सीमित सीमा के आधार पर लिखते हैं तो अभाज्य संख्याओं के एक सेट में प्राकृतिक संख्याओं के सेट की तुलना में हमेशा कम संख्याएँ होंगी)।
जॉर्ज कैंटर. | फोटो साभार: विकिमीडिया कॉमन्स
अब वास्तविक संख्याएँ लाएँ। चूँकि वास्तविक संख्याएँ तर्कसंगत या अपरिमेय हो सकती हैं, वास्तविक संख्याओं के एक सेट में प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर संबंधित अद्वितीय तत्वों को रखने में कठिनाई होगी क्योंकि हम हमेशा सबसे यादृच्छिक वास्तविक संख्या के साथ आ सकते हैं, यानी सूची बहुत असमान होगी। लंबी कहानी को संक्षेप में कहें तो, कैंटर ने इन सभी से अनुमान लगाया और यह पहचानने के लिए उनका और भी अध्ययन किया कि कुछ अनंत कुछ अन्य की तुलना में बड़े हैं। उन्होंने यह भी साबित किया कि वास्तविक संख्याएँ अनगिनत हैं क्योंकि हम उन्हें व्यक्त करने में असमर्थ हैं।
विरोधाभास ने उस पर तीर मारा। यदि अनेक अनंत हैं, तो निश्चित रूप से उनमें से एक सबसे बड़ा भी होगा! नहीं, इसके अस्तित्व के लिए, सभी सेटों का एक सेट अस्तित्व में होना चाहिए जो अस्तित्व में नहीं है (कैंटर के विरोधाभास को कल देखें, एक दिन में एक विरोधाभास का अध्ययन करें)। अनंत ने तर्क को एक बार फिर घुमा दिया!
अनिश्चित बनाम अनंत
अनिश्चित और अनंत दो चीजें हैं। एक बात जो हम अक्सर अपने दिमाग में दर्ज करना भूल जाते हैं वह यह है कि अनंत का वास्तव में कोई अंत नहीं है। अनिश्चित का अर्थ है कि यद्यपि हम अंत नहीं जानते, फिर भी यह अस्तित्व में है। अनंत का अर्थ है कि यह अनंत है। इसमें अंतर किए बिना, इस कठिन परीक्षा के बारे में हमारी समझ एक पहेली बन जाती है। स्पष्टतः अनंत एक अवधारणा है न कि कोई संख्या। अब तक तो हमें इतना समझदार हो जाना चाहिए कि इतना समझ सकें।
हालाँकि अनन्तता समाप्त नहीं होती, दुर्भाग्य से मुझे अपना लेख यहीं समाप्त करना पड़ रहा है। अपने साथ दो चीजें ले जाओ – अनंत कोई संख्या नहीं है; अनन्तता परिमित तर्क को अस्वीकार करती है। यदि किसी दिन आपको अनंत से संबंधित एक और विरोधाभास मिले, तो आश्चर्यचकित हो जाइए।
अकिलिस पकड़ने की कोशिश कर रहा है। | फोटो साभार: विकिमीडिया कॉमन्स
तो क्या अकिलिस कभी कछुए को पकड़ पाता है?
मेरा मतलब है कि मैं सचमुच कछुए के साथ दौड़ लगा सकता हूं और हां कह सकता हूं। बिल्कुल यही विरोधाभास है। मेरे द्वारा तय की गई सभी अनंत आधी दूरियों का योग मुझे एक सीमित संख्या देगा। इसके बाद अकिलिस कछुए को पकड़ लेगा एक सीमित चूक समय का. कोई चीज़ जिसका कोई अंत न हो, ख़त्म हो जाती है।
गणितीय शब्दों में, इसे मूल रूप से सीमाओं की सहायता से हल किया जाता है। यदि हम आंशिक योग लें तो एक अनंत श्रृंखला परिमित मान में परिवर्तित हो जाती है।
आंशिक योग: एक अनंत श्रृंखला में पदों की एक सीमित संख्या का योग।
