इस साल मार्च में, जापानी गणितज्ञ मसाकी काशीवारा को ज़ूम कॉल पर पता चला कि उन्हें “बीजगणितीय विश्लेषण और प्रतिनिधित्व सिद्धांत में उनके मौलिक योगदान” के लिए गणित के सर्वोच्च सम्मानों में से एक, एबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था।

डॉ. काशीवारा ने 23 वर्ष की उम्र में अपने हाबिल-विजेता कार्य के कुछ हिस्सों को विकसित करना शुरू कर दिया था। अब वह 78 वर्ष के हैं।

उस समय, जापान में टोक्यो विश्वविद्यालय में स्नातकोत्तर छात्र के रूप में नामांकित, उन्होंने डी-मॉड्यूल के साथ काम करना शुरू किया – एक ऐसा तरीका जिसके द्वारा गणितज्ञ बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करके आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली का अध्ययन कर सकते हैं। ये समीकरण आम तौर पर सभी विज्ञानों में पाए जाते हैं।

1980 तक, डॉ. काशीवारा ने रीमैन-हिल्बर्ट पत्राचार को साबित करने के लिए डी-मॉड्यूल के अपने सिद्धांत का उपयोग किया था – 1900 में जर्मन गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट द्वारा प्रस्तुत 23 प्रसिद्ध समस्याओं में से एक। (हिल्बर्ट की तीन समस्याएं आज तक अनसुलझी हैं।)

इस कार्य का प्रभाव ऐसा था कि “काशीवाड़ा को 1982 में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में फील्ड्स मेडल पहले ही जीतना चाहिए था…” लिखा इस साल अप्रैल में. फील्ड्स मेडल गणित में एक और प्रतिष्ठित पुरस्कार है, लेकिन यह 40 वर्ष से कम उम्र के लोगों के लिए आरक्षित है।

1982 में, पदक एलेन कोन्स, विलियम थर्स्टन और शिंग-तुंग याउ को मिला। जब डॉ. काशीवारा नहीं जीत पाए, तो डॉ. शापिरा ने अनुमान लगाया कि “क्योंकि उनका काम उस समय समझने के लिए बहुत नवीन था।”

और वह अभी शुरुआत ही कर रहा था।

रीमैन-हिल्बर्ट पत्राचार

विभेदक समीकरण हमें यह वर्णन करने में मदद करते हैं कि एक मात्रा दूसरे के संबंध में कैसे बदलती है। उदाहरण के लिए, ऐसे समीकरण का उपयोग यह वर्णन करने के लिए किया जा सकता है कि समय की तुलना में कार की गति कैसे बदलती है। इस समीकरण को हल करने से यह कहने में मदद मिल सकती है कि किसी समय कार की गति तेज हो रही है या धीमी हो रही है और कितनी।

रीमैन-हिल्बर्ट पत्राचार एक विशेष प्रकार के अंतर समीकरणों के बारे में है जिन्हें रैखिक आंशिक अंतर समीकरण कहा जाता है।

कल्पना कीजिए कि आप केक पका रहे हैं। जैसे ही ओवन इसे बाहर से गर्म करता है, गर्मी केक के अंदर फैलती है और केक के विभिन्न हिस्से अलग-अलग गति से गर्म होते हैं। यदि आप इसका वर्णन करना चाहते हैं, तो आपको यह जानना होगा कि समय के साथ तापमान कैसे बदलता है और केक के अंदर विभिन्न बिंदुओं पर यह कैसे बदलता है। आंशिक अंतर समीकरण इन सभी परिवर्तनों पर एक साथ नज़र रखने का गणितीय तरीका है।

गणितीय समीकरण पर काम करते समय, ऐसे समाधान का सामना करना संभव है जो अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण का हल य = 1/एक्स के लिए परिभाषित नहीं है एक्स = 0. ऐसे बिंदुओं को विलक्षणताएँ कहा जाता है।

आंशिक अवकल समीकरणों में भी विलक्षणताएँ होती हैं।

एक विलक्षणता दर्शाने वाला ग्राफ़ [0, 0] फ़ंक्शन y^3 के लिए – x^2 = 0. | फोटो साभार: चैटजीपीटी 5 से बनाई गई छवि

और यदि आप एक विलक्षणता के आसपास के बिंदुओं के लिए आंशिक अंतर समीकरण के समाधान का पालन करते हैं, तो आपको मोनोड्रोमी नामक प्रभाव का सामना करना पड़ता है। एक सर्पिल सीढ़ी की कल्पना करें जहां प्रत्येक चरण एक बिंदु है जहां समीकरण को हल किया जा सकता है। सर्पिल के केंद्र में विलक्षणता निहित है।

चूँकि समाधान एक सर्पिल सीढ़ी के साथ होते हैं, सीढ़ी का एक पूरा चक्कर लगाने से आप उस बिंदु पर नहीं लौटेंगे जहाँ से हमने शुरुआत की थी। इसके बजाय, आप एक स्तर ऊपर या एक स्तर नीचे चढ़ चुके होंगे। यह एक मोनोड्रोमी की तरह है. विशेष रूप से, एक मोनोड्रोमी तब होती है जब एक बिंदु के चारों ओर आंशिक अंतर समीकरण के समाधान अलग-अलग व्यवहार करते हैं जब हम एक विलक्षणता के चारों ओर घूमने के बाद उस पर लौटते हैं।

जब हिल्बर्ट ने रीमैन-हिल्बर्ट पत्राचार का प्रस्ताव रखा, तो वह जानते थे कि आंशिक अंतर समीकरण को देखते हुए, कोई इसकी विलक्षणताओं और मोनोड्रोमियों की पहचान कर सकता है। उन्होंने सोचा कि क्या विपरीत सच है: कि, एक विलक्षणता और उसके चारों ओर एक मोनोड्रोमी को देखते हुए, क्या संबंधित समीकरण निर्धारित करना संभव होगा?

बेल्जियम के गणितज्ञ पीटर डेलिग्ने ने 1970 में रीमैन-हिल्बर्ट पत्राचार का प्रमाण प्रदान किया। एक दशक बाद, दो गणितज्ञों – ज़ोघमैन मेबखाउट और डॉ. काशीवारा – ने स्वतंत्र रूप से इसे डेलिग्ने द्वारा मानी गई तुलना में अधिक सामान्य सेटिंग्स के लिए साबित किया।

डॉ. काशीवारा के प्रमाण में डी-मॉड्यूल का सिद्धांत शामिल था।

‘एक नया क्षितिज’

डॉ. काशीवारा का काम उनके सलाहकार मिकियो सातो द्वारा शुरू की गई एक बड़ी परियोजना का हिस्सा था, जापानी गणितज्ञ को 1959 में बीजगणितीय विश्लेषण के क्षेत्र को शुरू करने का श्रेय दिया जाता है।

बीजगणित गणित का वह क्षेत्र है जो चरों (उदाहरणार्थ) से संबंधित है एक्स और य) और उनके बीच के रिश्ते। विश्लेषण वह क्षेत्र है जो कैलकुलस के लिए सैद्धांतिक आधार प्रदान करने का प्रयास करता है। अन्य बातों के अलावा, विश्लेषक इस बात को लेकर चिंतित हैं कि अंतर समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

यद्यपि वे विज्ञान में सामान्य हैं, विभेदक समीकरणों को हल करना बहुत कठिन माना जाता है। वास्तव में, कुछ सरल मामलों को छोड़कर, उन्हें हल करने के लिए कोई स्पष्ट सूत्र मौजूद नहीं हैं।

सातो का बीजगणितीय विश्लेषण व्यक्तिगत अंतर समीकरणों को हल करने की आवश्यकता को दरकिनार करने का एक प्रयास था। इसके बजाय, वह यह अध्ययन करने के लिए बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करना चाहते थे कि कुछ प्रकार के आंशिक अंतर समीकरण कैसे व्यवहार करते हैं।

टाटा इंस्टीट्यूट ऑफ फंडामेंटल रिसर्च, मुंबई के गणितज्ञ अरविंद नायर ने कहा, इससे गणितज्ञों को व्यक्तिगत समाधानों के बजाय आंशिक अंतर समीकरणों की प्रणाली के सभी समाधानों का अध्ययन करने में मदद मिलेगी।

“चलते सवाल [of analysis] उन्होंने कहा, ”बीजगणित आंशिक अंतर समीकरणों का अध्ययन करने के लिए” बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करने की अनुमति देता है, ”जो अक्सर बहुत शक्तिशाली होते हैं।”

बीजगणितीय विश्लेषण ने गणित के दो क्षेत्रों – बीजगणित और विश्लेषण – को जोड़ने की भी कोशिश की, जिन्हें पहले स्वतंत्र माना जाता था। परिणामस्वरूप शोधकर्ता दूसरे डोमेन के टूल का उपयोग करके एक डोमेन की समस्याओं को हल कर सकते हैं।

में एक 2024 पेपरडॉ. काशीवारा के सहयोगी शापिरा ने इस प्रगति को “गणित में एक नया क्षितिज” कहा।

डॉ. काशीवारा ने सातो के सपने को तब आगे बढ़ाया जब उन्होंने एक छात्र के रूप में डी-मॉड्यूल पर काम करना शुरू किया। के अनुसार डॉ. शापिराडी-मॉड्यूल पर डॉ. काशीवारा के काम ने आखिरकार गणितज्ञों को “एक अज्ञात के साथ एक समीकरण के विपरीत, रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों की सामान्य प्रणालियों का इलाज करने के लिए उपकरण” दिए।

अर्थात्, एक आंशिक अंतर समीकरण को विस्तार से हल करने की कोशिश करने के बजाय, डी-मॉड्यूल ने गणितज्ञों को यह अध्ययन करने की अनुमति दी कि ऐसे समीकरणों की कक्षाएं विभिन्न स्थितियों में कैसे व्यवहार करती हैं।

अपने प्रयासों में, डॉ. काशीवारा ने रीमैन-हिल्बर्ट पत्राचार को डी-मॉड्यूल और विकृत शीव्स नामक गणितीय वस्तुओं के बीच एक पत्राचार के रूप में पुनर्निर्मित किया। उत्तरार्द्ध बहुपद समीकरणों के समाधान की प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है। बहुपद समीकरण एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जैसे एक्स² + य² = 0.

“इसे दो प्रकार के बीच एक शब्दकोश के रूप में सोचा जा सकता है [mathematical] वस्तुएं,” डॉ. नायर ने कहा।

इस शब्दकोश के हिल्बर्ट संस्करण में आंशिक अंतर समीकरण और उनके चारों ओर विलक्षणताओं और मोनोड्रोमियों का संग्रह शामिल था।

डॉ. काशीवारा के सुधार ने पत्राचार के दायरे का भी विस्तार किया। भारतीय विज्ञान संस्थान, बेंगलुरु में गणित के एसोसिएट प्रोफेसर अपूर्व खरे के अनुसार, “काशीवारा द्वारा प्रश्न हल करने की तुलना में समस्या की मूल सेटिंग कहीं अधिक प्रतिबंधित थी।”

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

रीमैन-हिल्बर्ट पत्राचार को साबित करने के लगभग एक दशक बाद डॉ. काशीवारा ने एक और बड़ी सफलता हासिल की, इस बार गणित की एक शाखा में जिसे प्रतिनिधित्व सिद्धांत कहा जाता है। यद्यपि यह गणित से संबंधित है, प्रतिनिधित्व सिद्धांत भौतिकी में भी बहुत महत्वपूर्ण है – विशेषकर क्वांटम भौतिकी में। वास्तव में, भौतिक विज्ञानी अक्सर इसका उपयोग इलेक्ट्रॉनों और फोटॉन जैसे बुनियादी कणों के व्यवहार का वर्णन करने के लिए भाषा के रूप में करते हैं।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत जटिल गणितीय वस्तुओं को लेता है और उन्हें सरल वस्तुओं के रूप में व्यक्त करता है। एक अच्छा उदाहरण समूह है. गणित में, एक समूह उन सभी अलग-अलग तरीकों का समूह है, जिनसे आप किसी वस्तु की स्थिति बदल सकते हैं – इसे घुमाकर, पलटकर या चारों ओर घुमाकर। ऐसे प्रत्येक परिवर्तन को समूह का एक तत्व कहा जाता है।

समूहों का अध्ययन करना बहुत कठिन हो सकता है क्योंकि उनमें बहुत अधिक जानकारी होती है। उन्हें संभालना आसान बनाने के लिए, प्रतिनिधित्व सिद्धांत उन्हें मैट्रिक्स में परिवर्तित करता है, जो संख्याओं या प्रतीकों के आयताकार ग्रिड होते हैं। सिद्धांत नियम प्रदान करता है ताकि समूह का प्रत्येक तत्व एक विशिष्ट मैट्रिक्स से मेल खाए।

मैट्रिक्स के साथ प्रतिनिधित्व करने का यह विचार अन्य गणितीय वस्तुओं तक भी बढ़ाया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण क्वांटम समूह है, जो 1980 के दशक में गणितज्ञों और भौतिकविदों द्वारा बनाया गया था। यहीं पर डॉ. काशीवारा ने अपनी पहचान बनाई।

एक ग्राफ़ पर आगे बढ़ना

1990 में, डॉ. काशीवारा ने क्रिस्टल आधारों का आविष्कार किया, जो क्वांटम समूहों का प्रतिनिधित्व करने का एक नया तरीका था। (एमआईटी गणित के प्रोफेसर जॉर्ज लुस्ज़टिग ने भी उसी समय स्वतंत्र रूप से क्रिस्टल आधारों का आविष्कार किया था।)

x- और y-अक्ष वाले ग्राफ़ की तरह, द्वि-आयामी स्थान पर विचार करें। इस ग्राफ़ में एक बिंदु को एक वेक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है: एक तीर जो मूल बिंदु से शुरू होता है और बिंदु पर समाप्त होता है। इन वैक्टरों को x- और y-अक्ष के साथ आंदोलनों के संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप पहुंच सकते हैं [5, 3] से [0, 0] x-अक्ष पर 5 इकाईयाँ और उसके बाद y-अक्ष पर 3 इकाईयाँ घुमाकर।

गणितज्ञ इन एकात्मक आंदोलनों को ‘आधार’ कहते हैं। डॉ. खरे के अनुसार, काशीवारा ने क्वांटम समूहों के आधार को ग्राफ़ में बदल दिया। यह एक महत्वपूर्ण उपलब्धि थी क्योंकि इसने एक “कॉम्बिनेटोरियल टूल बनाया जो कई समस्याओं के समाधान को सक्षम बनाता था [of quantum groups] प्रतिनिधित्व सिद्धांत में,” हाबिल पुरस्कार वेबसाइट पर काशीवारा की जीवनी के अनुसार।

डॉ. खरे ने कहा कि तकनीक ने “इन वस्तुओं पर गणना को आसान बना दिया है” और इससे “क्वांटम समूहों के बारे में अधिक व्यापक जानकारी” प्राप्त हुई है।

दुनिया भर के गणितज्ञ अक्सर अपने विषयों की सीमाओं को आगे बढ़ाने के लिए डॉ. काशीवारा की खोजों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, टीआईएफआर मुंबई के गणितज्ञ डॉ. नायर ने कहा कि वह अपने काम में डॉ. काशीवारा के “हर दिन रीमैन-हिल्बर्ट पत्राचार” के सूत्रीकरण का उपयोग करते हैं। डॉ. नायर प्रतिनिधित्व सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति पर काम करते हैं; उत्तरार्द्ध ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करता है।

शायद डॉ. काशीवारा का सबसे बड़ा योगदान गणित के विभिन्न क्षेत्रों के बीच पुल बनाना है। उदाहरण के लिए, डी-मॉड्यूल पर उनका काम, बीजगणित और टोपोलॉजी के साथ अंतर समीकरणों के अध्ययन को जोड़ता है, उन स्थानों का अध्ययन जो कुछ प्रकार की विकृतियों के तहत नहीं बदले जाते हैं।

ऐसा करने पर, यह गणितज्ञों को एक अलग डोमेन से उधार लिए गए उपकरणों के साथ एक डोमेन में समस्याओं से निपटने की अनुमति देता है – कुछ हद तक उसी तरह जैसे टेफ्लॉन कोटिंग्स का उपयोग करना, जो मूल रूप से विमान की सुरक्षा के लिए बनाया गया था, ने कम खाना पकाने के तेल वाले आहार को जन्म दिया।

78 साल की उम्र में, डॉ. काशीवारा अभी भी गणित के लिए इन पुलों का निर्माण कर रहे हैं।

सायंतन दत्ता क्रिया विश्वविद्यालय में संकाय सदस्य और एक स्वतंत्र विज्ञान पत्रकार हैं। लेखक पियरे शापिरा (सोरबोन विश्वविद्यालय) और केएन राघवन, ऋषि व्यास और विवेक तिवारी (सभी क्रेया विश्वविद्यालय में) को उनके इनपुट के लिए धन्यवाद देते हैं।